Правильно: поугорать. В корне гар — гор на месте безударного гласного пишется буква о, хотя под ударением – а (угар).
Можно сказать: сестре принесли куклу поиграть, сестре предложили поиграть с куклой.
Воспользуйтесь, пожалуйста, учебным пособием Е. И. Литневской.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Запятая ставится.
Первая гласная непроверяемая, вторая проверяется словом шевЕлит.