Верно: в год Петуха.
Обе запятые не требуются: В это время все родившиеся в год Петуха приносят птиц...
Пояснительные согласованные определения не выделяются, а лишь отделяются от поясняемого определения запятой. ("Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник" под ред. В. В. Лопатина)