Запятая не нужна.
Запятая нужна, поскольку союз и соединяет части сложносочиненного предложения.
Правильно:
Когда Иоганнес подрос, он начал обучаться игре на фортепиано и теории музыки у Отто Косселя.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.