Это слово сокращается как мин. (с точкой).
Преобладает вариант династия Мин.
Кавычки не требуются.
Слово идти многозначно, и одно из значений очень широкое – 'двигаться, перемещаться в пространстве' (примеры из словаря: Поезд идёт. Баржа идёт по реке. Идти под парусом. Груз идёт морем. Идти на вёслах). Поэтому приведенная Вами фраза не ошибочна.
Правильно: мини-холодильник. Мини- - это первая часть сложных слов, присоединяемая к последующей части дефисом.
Да, оба варианта верны.
Пишется раздельно: мини вокальный конкурс.