Корректно написание масляный массаж.
Словарная фиксация есть, причем неодинаковая: «Моссад» (Розенталь Д. Э. Справочник по русскому языку. Прописная или строчная? – 7-е изд., перераб. и доп. М., 2005) и МОССАД (Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011). Первый вариант употребляется чаще.
Верно - с предлогом ДЛЯ.
Оба варианта верны.
Если имеется в виду корпус автомобиля, слово "масса" следует писать в кавычках, особенно в неспециализированных текстах.
Корректно: массаж с кремом для рук.
Верно: нести в массы, пропагандировать в массах.