Мужская фамилия Крот склоняется, женская – нет.
Слово Кром, обозначающее Псковский кремль, пишется с большой буквы. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Пунктуация корректна.
Корпус – корп. и к.
Кавычки ставятся по усмотрению автора текста.
Верно: курсы кройки и шитья.