Мужская фамилия Масс склоняется, женская – нет.
Предпочтительно не склонять эту аббревиатуру.
Нет, нормативное управление этого глагола — кланяться кому или без дополнения.
См., например:
Большой толковый словарь русских глаголов
КЛАНЯТЬСЯ, несов. (сов. поклониться), кому и без доп. Проявлять (проявить) приветливое, дружеское отношение к кому-л., приветствуя при встрече наклоном головы, снятием шляпы [impf. (in this sense) to bow (to, before); to greet]. Директор любил поклоны, я же не любил и не умел кланяться, и кончилось тем, что я должен был оставить службу. Егор Иванович, увидев бабушку, поклонился ей и почувствовал себя виноватым, что так редко приезжал домой.
Оба варианта некорректны. Верно: уложиться во время.
Да, фамилия склоняется.
Если это французская фамилия с ударением на последний слог, то она не склоняется. Если это не французская фамилия, то склоняется.