Верно: Северо-Африканская кампания.
Верно: в связи с проводимой в области кампанией.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Выбор зависит от значения. Компания – объединение (напр.: акционерная компания, нефтяная компания). Кампания – деятельность (напр.: посевная кампания, избирательная кампания).
Компания – организация, предприятие, фирма. Кампания – совокупность действий, мероприятий. Правильно: оздоровительная кампания (совокупность действий, мероприятий, направленных на оздоровление).
Правильно со строчной.