Частица НЕ пишется слитно с последующим словом в Вашем предложении.
Не с наречием может писаться и слитно, и раздельно – в зависимости от того, какой смысл нужно подчеркнуть. Раздельное написание подчеркивает отрицание (отрицается корректность), слитное написание подчеркивает утверждение (утверждается некорректность). Окончательное решение принимает автор текста.
Верно слитное написание: документ оформлен некорректно.
Корректно именно так: Библиотека Конгресса США.
Верно: Окрасить не менее чем четырьмя слоями. (Запятая не нужна.)
Правильно: не спится, не лежится. Не с глаголами пишется раздельно.