Верно: избегать (чего?) Синей яхты.
Верно: умеет избегать конфликтных ситуаций.
Нормативно: в поднебесье. См. также ответ на вопрос № 176838.
Верно: избегать продуктов с содержанием жиров.
Глагол избегать требует родительного падежа: избегать резких движений.
Верно: ДТП, которого можно было избежать.
Правильно: избежать ошибки. Глагол избежать управляет родительным падежом.