Корректный вариант: забраться внутрь. Наречие вовнутрь носит разговорный характер, имеет сниженную стилистическую окраску.
Корректен вариант задержаться с приходом на работу.
Если придаточная часть состоит из одного союзного слова, то запятая не ставится.
Могут быть использованы оба предлога.