Верно: на площадке.
Во всех этих случаях требуется согласование по мужскому роду.
Пишется Забава Путятична, произносится [шн]. Ср.: Ильинична, Лукинична, Никитична и т. п.: в женских отчествах на -ична произносится [шн], но пишется чн. Написание Забава Путятишна возможно при намеренной передаче произношения на письме.
Правильно: заявка на участие.
Можно. Но лучше: написанная от руки записка.
Как существительное: Забияки, Забияке и т. д.
Правильно: заявка на включение в список.