В обоих случаях кавычки не нужны. Если в имени героя, к которому дается отсылка, слово дровосек пишется со строчной буквы, то и в предложениях должна быть строчная.
Антанакласис предполагает повтор слова в ином или измененном значении, например: «Сын, я знаю: ты ждешь моей смерти [т. е. наследства]. — О, нет! — И все же прошу: подожди моей смерти [т. е. не отравляй меня]
В приведенном примере из Некрасова повтора слова нет.
Лучше всего: побывать в деревне, которая называется Важжова.
Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).
Правильно: побывать в святых местах.
Такое выражение возможно в разговорной речи.
Корректны варианты: побывать на радио «Эхо Москвы», побывать на «Эхе Москвы».
Правильно: на вилле; побывать на всех доступных виллах.
