Корректно: снять полномочия с Головиной (при том условии, что мужской вариант этой фамилии - Головин).

Запятая не нужна, но надо поставить тире: Девица голосила: «Иди сюда!» – и пыталась поймать кота.

Правильно: прошла половина лета.

Предпочтителен первый вариант.

Верно: половина людей уверена.

Не пишется раздельно, потому что в данном случае отрицается понятие, а не создается новое. Мы легко можем подставить слова, усиливающие отрицание: отнюдь не голодна, вовсе не голодна, но совершенно неестественной была бы подстановка слов, подчеркивающих утверждение (очень, крайне, весьма, чрезвычайно, в высшей степени и др.): *она в высшей степени неголодна (?) Это говорит о том, что перед нами отрицание признака, поэтому нужно писать раздельно.

Сочетание последная половина о веке, годе употреблялось в прошлом, сейчас привычно вторая половина.