Корректно: снять полномочия с Головиной (при том условии, что мужской вариант этой фамилии - Головин).
Запятая не нужна, но надо поставить тире: Девица голосила: «Иди сюда!» – и пыталась поймать кота.
Правильно: прошла половина лета.
Предпочтителен первый вариант.
Верно: половина людей уверена.
Сочетание последная половина о веке, годе употреблялось в прошлом, сейчас привычно вторая половина.
Возможны оба варианта.