Правильно: в мае, в мае месяце (без дефиса).
Речь идет о лексической избыточности (т. е. понятно, что Тула - это город, а май - это месяц, а значит слова месяц и город лишние). В отличие от тавтологии (масло масляное), которая является ошибкой, лексическая избыточность (плеонастичность) возможна в определенных ситуациях (Ваши примеры - из канцелярской, деловой речи).
Такие сочетания, безусловно, лексически избыточны, однако они получили настолько широкое распространение в современной речи (особенно канцелярской), что уже не считаются ошибочными. Впрочем, если стремиться к безупречности своей речи, слово месяце лучше опускать.
Верно: в месяце мае.
Корректно: в каком? – в следующем.
Подобную замену можно обсуждать, если известен замысел автора и предположительное высказывание. Ваш вопрос не содержит этих сведений.
Конечно, сочетания апрель месяц, май месяц и т. п. лексически избыточны, но они широко используются в канцелярской (деловой) речи и – главное – уже зафиксированы словарями русского языка. Поэтому ошибкой такое употребление считать нельзя, хотя по возможности его лучше избегать (особенно в живой речи).
Такое словоупотребление корректно.
Если имеется в виду, что экскурсия будет длиться месяц, то верно: на месяц.
Нет, такой перенос некорректен.
