Оба сочетания возможны в разговорной речи.
Оба варианта соответствуют литературной норме.
Переезд квартиры – новое сочетание слов. Оно возникло, видимо, не так давно и называет услугу по перевозке всей домашней (находящейся в квартире) утвари при переезде из одной квартиры в другую. Перенос наименования с вместилища на содержимое этого вместилища (особый вид метонимии) не нов для русского языка. Ср.: чайник кипит (имеется в виду вода в чайнике), съел целую тарелку, нужно еще три мешка, пришли на собрание всем домом.
Если имеется в виду вода, которой дали отстояться, верно: отстоянная вода.
Да, написание в кавычках корректно.
Глагол оснастить имеет значение 'cнабдить необходимыми техническим средствами, приспособлениями', поэтому выражение чайник оснастили свистком вполне корректно, однако несколько высокопарно.
Возможны оба варианта, но более употребительно минерализованная вода.
Слова вода и водка исторически родственны, но сейчас их вряд ли можно признать однокоренными, значение слова водка невозможно истолковать через значение слова вода. Приведем статью из этимологического словаря Н. М. Шанского и Т. А. Бобровой.
Во́дка. Искон. Суф. производное от вода. Первоначальное значение «спиртовой лекарственный настой» (на травах). Значение «водка», очевидно, возникло у этого слова под влиянием польск. wódka — свободной кальки лат. aqua vita «алкоголь» (буквально — «вода жизни»).
