Правильно: влезать. Влазить – просторечие.
Да, являются.
Устойчивое употребление: вязать на спицах.
Запятую нужно поставить.
Употребление хурма вяжет рот корректно и в устной речи, и на письме. Такое значение слова вязать зафиксировано в словарях.