Правильно только: базироваться на чём-либо.
Верно: базироваться в Бресте (в знач. "размещаться, дислоцироваться").
Слово сыроедение образовано путем сложения основ в сочетании с суффиксацией. Это значит, что слово образовано не от «едение», а от сырой + есть + суффикс. Так возникли и другие слова, например: землепроходец, мимоездом, разноязычный, хлеборез, однорукий.