В рабочем порядке – не отрываясь от работы; во время работы; оперативно.
Правильно здесь: в развитие.
Оба выражения могут употребляться в зависимости от контекста.
Оба варианта возможны. При этом нужно обратить внимание, как должность записана в трудовой книжке.
Правильно: останется в рабочем состоянии. В этом предложении требуется форма предложного падежа: в состоянии. Другой вариант неверен.
Правильны оба варианта, они различаются оттенками значения. В рабочие дни (делать что-либо) – указание на совершение действия в определенные дни. По рабочим дням (делать что-либо) – указание на регулярное повторение действия.