Мир цветов радуги - лучше.
В английском языке это сокращенное слово. Например, в названии компании — сокращенное Incorporated.
В этом случае недоступны лучше писать слитно.
Выбор предлога зависит от контекста.
Слово наделение требует формы родительного падежа. Проверить это можно, заменив фамилию на любое существительное, например: О наделении женщины (не о наделении женщину). таким образом, верно: О наделении Ю. Панферовой полномочиями начальника управления.
Верно: ходить к учителю (в значении "посещать учителя").
Знаки препинания расставлены верно.
Верно: в микрорайоне Бутово.
Верно: ...вдоль 17-го, 19-го и 21-го путей (если здесь используются порядковые числительные: вдоль семнадцатого, девятнадцатого и двадцать первого путей).
По основному правилу тире не нужно. Возможна только постановка авторского, интонационного тире.
