Для постановки запятых в этом предложении нет оснований.
Выражение якобы предполагаемый может показаться избыточным, так как оба слова указывают на некую неопределённость или сомнение. Тем не менее возможны тексты, где такое сочетание будет вполне оправданно.
Запятая между одиночным определением теплом и распространенным определением уже апрельском нужна: в теплом, уже апрельском воздухе.
В смысловом отношении это сочетание избыточно, но в советские времена оно утвердилось как официальное обозначение разновидности детского дошкольного учреждения.
Корректен вариант с обособлением деепричастия: Учимся говорить, играя!
В зависимости от общего контекста и ситуации возможны варианты:
1) Это эксперт — биолог Иван Иванов (если требуется поставить логическое ударение на слове эксперт; сочетание биолог Иван Иванов — приложение, которое поясняет, кто выступает экспертом в данном случае);
2) Это эксперт-биолог Иван Иванов (сочетание эксперт-биолог выступает постоянной характеристикой Ивана Иванова).
Употребление кавычек зависит от контекста, но по общему правилу для названий уний кавычки не требуются: Люблинская уния.
Запятая после подчинительного союза хотя не требуется.
