Продолжим наше обсуждение. «Локомотив» победил «Автомобилист». Как читателю или слушателю понять из этого короткого сообщения — кто кого победил? (Например, фраза мать любит дочь — классический пример синтаксической омонимии и толкуется двояко.) Что в этом сообщении показывает, что подразумевается именно клуб (а не команда спортсменов)? Наконец, еще один важный вопрос — неужели все цитируемые авторы ошибаются? Здесь заметим следующее: обсуждаются  лаконичные варианты высказываний, в которых упоминается наименование (имя собственное), но опущено определяемое слово (апеллятив). Соответственно, обсуждаются высказывания, выведенные за рамки типовых, нормативных высказываний, какие употребляются в строгой литературной речи. В этом случае авторы оказываются в условиях, когда надо самостоятельно принимать грамматическое решение о падежной и числовой форме наименований — с учетом контекста, ясности и понятности высказывания, с учетом смысловых и грамматических особенностей самого наименования. В ряде случаев выбор формы вариативен. Это означает, что невыбранные варианты не могут оцениваться как неверные. 

Надпись представлена как подлинное выражение, включённое в текст, поэтому её точно нужно заключить в кавычки. Другой вопрос, требуется ли перед ней двоеточие. В примечании к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя приводятся, с одной стороны, примеры типа Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана, с другой — примеры типа Мимо станции проносились скорые поезда с табличками на вагонах: «Москва — Владивосток». Там же отмечено, что двоеточие ставится, если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п. Но, судя по всему, дело в другом: в примерах с двоеточием подлинное выражение, включённое в текст, завершает собой предложение, в примерах без двоеточия — находится в середине предложения. Таким образом, корректно будет такое оформление: На столе стояла кружка с надписью: «Маме», но Кружку с надписью «Маме» кто-то убрал со стола.

Мы согласны с Вами: союз и в данном случае присоединяет целое сложноподчиненное предложение, поэтому запятая перед ним не нужна.

В предложениях Я не преподаватель. Я не студент сказуемое выражено именем существительным (преподаватель, студент), а перед сказуемым стоит отрицание не. Правильно раздельное написание. Ср.: Закон касается студентов и нестудентов. Непреподаватель не поймет этого утверждения.

Написание этих слов надо запомнить. Они являются исключениями и пишутся с двумя буквами н вместо одной, предусмотренной основными правилами. К исключениям, кроме слов невиданный, неслыханный, также относятся другие слова с приставкой не: неведанный, негаданный, нежеланный, нежданный, ненадёванный, неожиданный, нечаянный и (в составе устойчивого сочетания) недреманное око.

По первому предложению: конечно, тире можно не ставить, ссылаясь именно на этот пункт правил. Но если вчитаться в него, то мы заметим, что в нем говорится о вводном слове, но не о вводной конструкции, которая здесь довольно сильно распространена. Тире предпочтительно оставить именно по этой причине: оно ясно сигнализирует о том, что оговорка завершена и сейчас последует сказуемое. В противном же случае различие можно воспринять как однородный член к рознь. Конечно, дочитав предложение до конца, читатель поймет, что это не так, но создавать ему такие дополнительные затруднения ни к чему.

По второму предложению: полагаем, что здесь сочетание запятой и тире является эквивалентом двоеточия. См. ПАС, § 130, прим. 1. Перед нами бессоюзное сложное предложение (каждая часть его представляет собой, в свою очередь, СПП), так что положение этого примечания здесь вполне применимо.

По третьему предложение: это тоже бессоюзное сложное предложение, тире ставится по п. 5 того же параграфа ПАСа.

БЛАГОДАРЯ, предлог. кому-чему.
Из-за кого-, чего-л., по причине, вследствие чего-л. (обычно при указании на положительный, желаемый результат). Б. ветерку не так уж и жарко. Спасся б. друзьям. Б. отцу знаю иностранные языки. < Благодаря тому что, союз.
По причине того что, вследствие того что. Образован благодаря тому, что много читал.

ИЗ-ЗА, предлог. кого-чего. Указывает на:
1.
Предмет, лицо и т. п., с противоположной стороны которых направлено движение, действие. Из-за угла. Смотреть из-за двери. Выглянуть из-за спины. Самолёт показался из-за горизонта. Мотоцикл появился из-за поворота. Вынуть что-л. из-за пазухи. Из-за горы, из-за леса, из-за дерева. Из-за рубежа, из-за границы.
2.
Предмет, от которого начинается движение того (тех), кто за ним находился ради какого-л. занятия, действия. Встать, подняться из-за стола, рояля, мольберта, кафедры.
3.
Лицо, предмет, которые служат поводом к какому-л. действию. Поссориться из-за денег, из-за прописки. Работать из-за куска хлеба.
4.
Причину или на виновника какого-л. действия. Отсутствовать из-за болезни. Вернуться домой из-за дождя. Из-за тебя опоздал к поезду.

Напомним правило:

Обороты с производными предлогами и предложными сочетаниями обязательно обособляются, если они располагаются между подлежащим и сказуемым: разрыв их непосредственной связи и способствует выделению оборотов.

А теперь, собственно, к проблеме: считать ли слова "с помощью" и "при наличии" производными предлогами? В словарях эти сочетания обозначаются как выступающие "в значении предлога", но не как собственно прелоги. В чем различие? В том, что в русском языке возможны полноценные словосочетания помощь друзей и наличие друзей, в которых слова помощь и наличие - главные компоненты; настоящие производные предлоги таких сочетаний обычно не образуют. Сравните: благодаря, вопреки, ввиду, в целях, в связи с, во избежание, вследствие, по случаю, по причине, при наличии, согласно с, в отличие от, в противоположность, наподобие, при условии, в силу, за отсутствием, несмотря на, невзирая на, спустя, независимо от... (Согласны, в некоторых случаях образовать словосочетание получится, но это уже вопрос, скорее, к формулировке правила.)

Таким образом, на наш взгляд, в приведенных Вами двух последних примерах постановка запятой обязательной не является.