Слово незыблемый образовано от глагола зыбить(ся), который относится к глаголам I спряжения, хотя и оканчивается на -ить (см. также брить и зиждиться).
Нет, эти слова этимологически не родственны. Для более подробного изучения этого вопроса можно обратиться к этимологическим словарям.
В данном предложении запятая после слова "спасибо" не требуется.
Корректно: ОСАГО (обязательное страхование автогражданской ответственности), ка́ско и КА́СКО, нескл., с. (сокр.: комплексное автомобильное страхование кроме ответственности).
Вопрос о частеречной принадлежности слов типа ужасно/красиво в функции главного члена односоставного безличного предложения является спорным. Если используется классификация по частям речи, в которой в качестве самостоятельной части речи выделяется категория состояния, эти слова относятся к категории состояния. Если категория состояния не рассматривается как самостоятельная часть речи, эти слова относят к наречиям. В этом случае в наречиях выделяют особый разряд ― предикативные наречия.
Для постановки знаков препинания в этом предложении, взятом без контекста, нет оснований. Тире может быть уместно в каком-либо специфическом контексте.
Словари фиксируют только написание эзотерика.
Пока это слово не зафиксировано нормативными орфографическими словарями, возможны оба варианта написания. Орфографическим тенденциям при этом в большей степени отвечает дефисное написание.
Корректно без запятой: Ботанически помидор — это ягода. Наречия типа ботанически синонимичны сочетаниям типа с ботанической точки зрения (с точки зрения ботаники). Такие сочетания являются обстоятельствами и не обособляются.
В образцовой литературной речи название надо склонять: в поселке Новогорном.
