В данном случае верно: продолжающей. Но, поскольку в одном предложении использовано два причастных оборота, к тому же есть нанизывание родительных падежей, рекомендуем перестроить предложение:  Эти памятные монеты являются десятой парой монет из серебра, продолжающей серию, которая должна способствовать лучшему пониманию национальных обычаев.

В этих предложениях не нужны какие-либо дополнительные знаки препинания.

Прямая речь в предложении есть, но она играет роль приложения при существительном команда, поэтому двоеточие перед ней не ставится: Прозвучала команда «Кругом!» — и все повернулись. Правило о том, с какой буквы должна начинаться прямая речь, если она включается в текст как член предложения, в справочниках не сформулировано. Примеры приводятся разные, в частности: Это «не хочу» поразило Антона Прокофьевича; Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана; С криком «Спасайте детей!» юноша бросился в горящее здание (примечание к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Вопрос остается, видимо, на усмотрение автора текста.

Вы правы, значения прилагательного актуальный и образованного от него наречия актуально включают в себя компонент 'для настоящего времени'. Оборот актуальный (актуально) и по сей день может показаться избыточным, однако он закрепился в речи. Он вполне уместен, когда нужно подчеркнуть, что явление, о котором идет речь, остается актуальным в течение какого-то времени и сохраняет свою актуальность в настоящем. Приведем пример из мемуаров Д. С. Лихачева: Эти взгляды Мейера служили предметом споров в Кримкабе, и я очень жалею, что не записал их точно и подробно: многое в них остается актуальным и по сей день.

Такая пунктуация не ошибочна, если считать, что определительный оборот имеет характер пояснения или уточнения (обычно определительный оборот, стоящий после определительных, указательных и притяжательных местоимений, тесно примыкает к ним и запятой не отделяется).

Предложение корректно.

В слове необъятный с исторической точки зрения выделяются приставка об- и чередующийся корень -я-/-ним-: объять/обнимать.

Запятая нужна: От нас зависит, как сыграет весь оркестр.