Учиться нужно всем: и авторам, и читателям словарей. Это во-первых.

Во-вторых. Дефисное (не раздельное) написание свидетельствует о том, что в русском языке, в отличие от французского, нет самостоятельных слов "фуа" и "гра". 

В-третьих. Средний род этого несклоняемого (в отличие от рояля и виолончели) существительного соответствует родовому слову "блюдо" (ср. несклоняемые: суши, бланманже и др.).

В-четвертых, виолончель тоже инструмент (музыкальный).

Предложения не однотипные. В первом примере запятая после например не нужна. Если слово например вводит присоединительную конструкцию или стоит в начале или конце обособленного оборота, то никаким знаком препинания от оборота оно не отделяется. Но если оборот не выделен запятыми, а заключен в скобки, слово например отделяется от него запятой. Во втором предложении запятая после например нужна.

Раньше правильным было написание мелочёвка (а также плащёвка): эти слова считались исключениями (почему – плохо понятно). Сейчас их написание регулируется правилом: в суффиксе -овк- имен существительных после шипящих пишется о: мелочовка; в существительных, производных от прилагательных с суффиксом -ов (ев), пишется о: плащовка – от плащовый. Написание слова мелочовка было изменено в «Русском орфографическом словаре РАН» под ред. В. В. Лопатина.

В словосочетаниях пол Московской области, пол чайной ложки слово пол является существительным, образованным с помощью усечения от слова половина. В предложении существительное пол используется в им. и вин. падеже, может являться подлежащим или дополнением.

В словах пол-лимона, пол-Москвы, пол-августа, полметра и т. п., вне зависимости от типа написания, компонент пол- является усеченной основой слова половина. Это сложные существительные. 

Орфографически правильно написание верхязьвинцы. Пишутся слитно существительные — названия жителей, образованные от имен собственных, пишущихся через дефис. Что касается разделительных знаков, то здесь действует такое правило: в сложных словах после основы на парный твердый согласный перед вторым корнем на е, ё, ю, я разделительные знаки не пишутся. Ср: Минюст, детясли, госязык, иняз.

От названия Усть-Язьва образуется название жителей устьязьвинцы.

Отглагольное существительное, образованное от глагола па́рить в значении 'подвергать воздействию пара' имеет ударение на первом слоге: па́рение. В значении 'вдыхание пара электронных сигарет' это слово еще не стало общепринятым, но оно может быть использовано в качестве языковой инновации, если иметь в виду общее значение глагола и образованного от него существительного.

Этот глагол не зафиксирован нормативными орфографическими словарями русского языка, поэтому, строго говоря, нет «правильного» и «неправильного» его написания. Но второй ф в этом слове просто неоткуда взяться: в английском языке, откуда оно пришло, rofl — аббревиатура от rolling on the floor laughing 'катаюсь по полу от смеха'. Поэтому следует выбрать вариант рофлить.

Всё зависит от того, какова структура предложения, фрагмент которого приведен. Сравним: 1) Научный руководитель — И. И. Иванов, доктор филологических наук, профессор кафедры русского языка (тире между подлежащим и сказуемым-существительным); 2) Научный руководитель И. И. Иванов, доктор филологических наук, профессор кафедры русского языка, заявил... (приложение, стоящее перед именем собственным, не отделяется от него знаками препинания).

Выполнением домашних заданий мы не занимаемся.

Особо такая ситуация в правилах не описывается, формально в предложении две грамматические основы, объединяющих компонентов нет, поэтому запятая нужна.