Это глагол.
Не всегда. Постановка запятой зависит от синтаксической структуры предложения, интонации и др. факторов.
Запятая после вводного слова не ставится, если это слово стоит в начале обособленного оборота: Многие политики, например Иванов...
И тем не менее клала – правильно.
Запятая не нужна.
Запятые в этом предложении не нужны. К несчастью используется здесь не в роли вводного слова, а в роли члена предложения: никто не остался равнодушен (к чему?) к несчастью Пелагеи.
Если поставить запятую, т. е. рассматривать слова к несчастью Пелагеи как вводные, то получится весьма странный смысл: Пелагея была несчастна из-за того, что никто в деревне не остался равнодушен (к какому-то неназванному событию), т. е. она предпочла бы полное равнодушие жителей деревни (к тому самому неназванному событию).
