Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.
Глагол дрожать второго спряжения (спряжение определяется по ударным личным окончаниям глагола).
Обе формы корректны.
Запятая факультативна. Вводное слово обычно не отделяется знаком препинания от присоединительного союза, стоящего в начале предложения, однако при интонационном выделении вводного слова оно может отделяться от союза запятой.
Тире нужно.
Сочетание с цифрами можно написать так: 25-летие.
Да, Год как первое слово названий календарных периодов, объявленных знаменательными в каком-либо отношении, пишется с большой буквы: Год российского кино, Год экологии.
Запятая нужна. Она ставится между частями сложного предложения.
В названиях урочищ кавычки не требуются, верно: урочище Косогор.
