1. Вариант ба[ссэ]йн допустим. В «Большом орфоэпическом словаре русского языка» М. Л. Каленчук и др. (М., 2012) указано, что твердое произношение звука с в этом слове – младшая орфоэпическая норма, а в «Орфоэпическом словаре русского языка» под ред. Н. А. Еськовой (М., 2015) твердый и мягкий варианты признаны равноправными.
2. В большинстве орфоэпических словарей вариант к[рэ]м не рекомендуется.
Запятая не нужна, так как союз и соединяет части сложносочиненного предложения, но имеется общий второстепенный член в ходе расследования.
Верно: Потом он вскочил и с криком "Бежим!" кинулся ко мне.
С языковой точки зрения претензий к фразе нет.
Запятая нужна.
Оба варианта возможны. См. в «Письмовнике»: Единственное и множественное число сказуемого.
Запятая нужна.
Запятая не нужна.
Нет, нельзя.
Верны оба варианта.