Сочетание лихие девяностые воспринимается как образный описательный оборот (не как название) и устойчиво пишется со строчной буквы.
Названия склоняются. См. данные «Словаря собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко.
Запятая не нужна.
В приведенном Вами предложении возможна постановка как запятой, так и тире.
Верно: библиотека Российской академии наук (о неавтономном учреждении) и Библиотека Российской академии наук (об автономном учреждении).
Предложение корректно. Между подлежащим и сказуемым обязательно тире.
Если это независимое восклицательное предложение, в нем пишется частица не: Какие только эксперименты не ставят над смартфонами! (значение: ставят разные эксперименты). Ср. употребление частицы ни в придаточном предложении: Какие бы эксперименты я ни ставил над своим смартфоном, я так и не смог его сломать.
См. ответ на вопрос № 283580.
Об устаревших словах читайте в учебнике Е. И. Литневской.