Корректно: косметическая фирма "Солнышко". Вторая пара кавычек не нужна.
При отсутствии противопоставления и зависимых слов правильно слитное написание.
Дефис в этом названии следует заменить на тире (с пробелами).
Специальных правил на этот счет не существует.
Гласная е в глаголе увидеть является непроверяемой. Глагол относится ко II спряжению, поэтому личных окончаниях 2 и 3-го лица ед. числа, 1 и 2-го лица мн. числа, а также в суффиксе страдательного причастия наст. времени и соотносимого с ним прилагательного пишется гласная и: (ты) видишь, (он) видит, (мы) видим, (вы) видите, видимый.
По правилам с большой буквы. Подробнее см. в "Письмовнике".
Сочетания генеральный директор и председатель совета директоров пишутся строчными буквами.
Воспользуйтесь "Википедией" и онлайновой энциклопедией "РОЛ-Кругосвет".
Такое слово характеризуется как разговорно-просторечное.
