Верное написание в значении "затем, после этого, далее": засим (наречие).
1. Слитное написание корректно.
2. Верно: ...что-то я рано заизвинялся.
Верно раздельное написание. Использование глагола "полагает" здесь не вполне удачно.
Правильно написание со строчной буквы: центр, в центре работают специалисты...
Историческое объяснение существует, но проще всего запомнить написание как словарное.
Это написание "кочует" из издания в издание. Вероятно, редакторский недосмотр.
Если нет зависимых слов или противопоставления, то корректно слитное написание.
Написание зависит от значения, которое можно понять только в контексте.
Написание неустоявшееся. Лучше: в глубь леса (ср.: в глубину леса).
Корректно слитное написание, а при интонационном подчеркивании отрицания - раздельное.
