Тысяча первый – составное порядковое числительное. В таких числительных склоняется только последнее слово. Правильно: в тысяча первый раз.
Правильно слитное написание. Не с существительным пишется раздельно только в том случае, если есть или подразумевается противопоставление.
Бигуди – существительное pluralia tantum (имеющее формы только множественного числа). Противопоставление по роду во множественном числе не выявлено.
Можем только предположить, что это иностранное (иноязычное) имя или же имя-аббревиатура (как Мэлс, Фэд и т.д.).
Образцы морфологического (и не только) разбора слов Вы найдете в пособии Е. Литневской, размещенном на нашем портале.
Нужно склонять только мужскую фамилию Нечай: р. п. - Нечая, д. п. - Нечаю и т. д.
После количественных числительных наращение не используется – только после порядковых. Написание 3-х означает «третьих», написание 4-х означает «четвертых».
Пунктуация верна. Допущена только графическая погрешность. Если позволяют технические возможности, вместо короткой черточки нужно поставить длинную — тире.
Выражение допустимо, но оценить, корректно ли оно употреблено, можно только с учетом смысловых и стилистических особенностей текста.
Оба варианта написания верны, однако расположение определения после определяемого слова (набор подарочный) соответствует только канцелярскому стилю речи.
