Кавычки не нужны.
На Ваш вопрос отвечает Ирина Владимировна Фуфаева, кандидат филологических наук, автор книги «Как называются женщины. Феминитивы: история, устройство, конкуренция» (М., 2020).
Феминитив педагогичка возник после появления в Санкт-Петербурге в 1859 году первых педагогических женских курсов при Мариинской гимназии. Затем такие курсы появились и при других гимназиях. Педагогичками стали называть девушек, которые там обучались. Феминитив был образован от прилагательного педагогический с суффиксом -к(а), а не от существительного педагог, отличался от него по смыслу и был непарным.
В переписке И. А. Гончарова с великим князем Константином Константиновичем в 1889–1890 годах встречаются номинации, видимо, одной и той же девушки: бывшая педагогичка, воспитанница Женских Педагогических курсов, бывшая слушательница Педагогических курсов, ср: Недавно я имел маленькое сведение о Вашем Высочестве от воспитанницы Женских Педагогических курсов, где Вы… удостоили присутствием их классы. Кстати о воспитанницах. Одна из них, именно Трейгут находится на 3м курсе» [И. А. Гончаров. Письма великому князю Константину Константиновичу (1889)]; Я знаю, что вам трудно писать, но может быть барышня Трейгут, бывшая слушательница Педагогических курсов, с ваших слов напишет несколько строк для нашего успокоения [Константин Константинович (К. Р.). Письмо И. А. Гончарову (1890)]; ― В добавок дети ее, девочки, в том числе и бывшая педагогичка, уехали на какой-то вечер в Коломенскую Гимназию [И. А. Гончаров. Письма великому князю Константину Константиновичу (1890)].
При этом, поскольку выпускниц курсов тоже называли педагогичками и они работали педагогами (учительницами и гувернантками), слово естественным образом сблизилось с существительным педагог. Далее существительное стало употребляться как феминитив к слову педагог, хотя первое значение у него сохранялось и в раннесоветское время.
Корректно: На стаканы тень упала, и не видно, что я пью.
Предложение содержит ошибку. Корректно: Он любит фехтование, но уже не занимается им.
Противопоставления здесь нет. Раздельное написание прилагательного с не возможно, только если необходимо подчеркнуть отрицание.
Запятая после на первый взгляд нужна.
При сокращении корректно написание или с пробелом (мед. деятельность), или как сложносокращенного слова — без точки (меддеятельность). Пробелы иногда не ставят, чтобы части сокращения не могли оказаться на разных строчках. Эта проблема решается использованием непечатного символа «неразрывный пробел».
Верно: в районе Сокол, но на Соколе.
Знаки лучше расставить так: Ведь это так важно: поддерживать самое ценное – здоровье.
По правилам тире не требуется. Но допустимо интонационное тире.
Не обособляются определения нераспространенные и с зависимыми словами, стоящие после отрицательных местоимений. Поэтому указанная запятая не требуется.
