В слове преступник корень: преступ-. В слове напряженно разные словари выделяют корень по-разному: напряж- и -пряж-.

Слова Геннадий и Гена не однокоренные, поэтому такая проверка невозможна. В слове Геннадий корень геннадий-, в слове Гена корень ген-.

В слове сыроежка два корня: сыр — корень; о — интерфикс (соединительная гласная); еж — корень; к — суффикс; а — окончание

В современном русском языке числительное девяносто считается простым (то есть содержащим только один корень). В его составе выделяются корень девяност- и окончание -о.

При подлежащем, выраженном сложным существительным, первую часть которого образует числительное пол- (полчаса, полгода и т. п.), сказуемое обычно ставится в форме единственного числа, а в прошедшем времени – в среднем роде, например: полчаса пройдет незаметно, полгорода участвовало в демонстрации; Полголовы уже осталось (Чехов). Но если при этих словах имеется определение в форме именительного падежа множественного числа, то и сказуемое ставится во множественном числе, например: Первые полчаса прошли незаметно; Остальные полдома уцелели от пожара.

Таким образом, верно: Полкласса получило пятерки. В составе слова пол- – это корень.

В существительном ложка не выделяется суффикс -к-, потому что это слово не образовано ни от какого другого слова современного русского языка с помощью суффикса -к-. То же касается слов кружка, шишка: они не образованы ни от каких других слов с помощью суффикса -к-. Во всех этих слова -к- – часть корня.

В существительном кошка выделяется суффикс -к-, потому что это слово образовано от слова кот с помощью данного суффикса (происходит чередование т//ш).

Вы правы, в глаголе понимать и в производном от него существительном понимание (именно это существительное входит в задание) корень с чередованием. См. соответствующую словарную статью в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».