Правильно раздельное написание: общественно значимый.
Оснований для постановки запятых нет.
Мужская фамилия Безрук склоняется, женская – нет. По законам русской грамматики склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих). Это правило можно найти в любом нормативном справочном пособии по русскому языку, где есть раздел о склонении собственных имен.
Да, мужская фамилия Гармаш склоняется, женская – нет.
Если заголовок набран полностью прописными буквами, тогда нет оснований, чтобы переходить на строчную букву при графическом сокращении слова.
Словарной фиксации нет. Вероятнее всего, ударение падает на первый слог.
Повтором можно считать такое сочетание: суп дня... каждый день. Но грубой ошибки нет.
Следует склонять только мужскую фамилию.
Слова "весьма далеким от политических" нужно обособить (это определительный оборот, расположенный после определяемого слова).
