Да, в этом предложении деепричастие насупившись выражает значение обстоятельства образа действия (при сказуемом сидела) и потому не обособляется.

Оба варианта возможны. Глагол поступить в данном случае характерен для официально-деловой сферы общения. У глагола прийти есть значение ‘быть доставленным (о чём-либо отправленном)’, ср.: пришло письмо (хотя у него тоже нет ног).

Формально грамматический центр — нет (отрицательная форма настоящего времени глагола быть). Предложение — безличное. Этим можно и ограничиться, если речь идет об освоении школьной программы.

Если же выйти за ее рамки, то придется учесть, что перед нами отрицательно-безличная модификация утвердительного предложения: его мы и получим «вновь», если изымем отрицание (Есть сомнения в опасности этого человека). При этом, как видим, предложение оказывается двусоставным, сомнения — подлежащее. В отрицательно-безличной модификации оно принимает форму родительного падежа и превращается как бы в дополнение (но именно как бы!), однако без него предложение окажется бессмысленным, потому что, если мы его опустим, придется опустить и всё остальное, поскольку оно зависит от сущ. сомнения. Останется только Нет, которое явным образом не эквивалентно по смыслу тому, с чего мы начали.

Вывод: если формально-школьный ответ — нет, то неформальный ответ — нет сомнений, в котором нет — главный член безличного предложения, а сомнений — «разжалованное» подлежащее. В лингвистике в последние примерно 40–50 лет в подобных случаях говорят также о «неканонических подлежащих».

На наш взгляд, этот пункт правила здесь вряд ли можно применить. Здесь не такая тесная связь со сказуемым, как в тех примерах, где «железно» можно опустить запятую.

Правильно сокращение к. м. н.

Рекомендуемое произношение: [мэнэджмент].

Правильно: мерились.

Да, эта фамилия склоняется.

Да, склонение мужской фамилии Петрук обязательно. Женская фамилия не склоняется.