Прилагательные, образованные от географических названий, пишутся с большой буквы, если они являются частью составных географических и административно-территориальных названий (напр.: Саратовская область) или наименований организаций, учреждений (напр.: Саратовский государственный университет). В остальных случаях такие прилагательные пишутся с маленькой буквы, напр.: саратовские улицы, саратовский писатель.
Следует писать с маленькой буквы: песто, соус песто.
Слово новое и пока не зафиксировано в орфографических словарях, поэтому говорить о каком-либо одном варианте как корректном не представляется возможным.
Да, корректно писать строчными: студенческий совет.
Если речь идет о наименовании конкретного (не типового) изделия, то лучше использовать традиционный вариант с прописной буквой: брошь «Черепашка».
Департамент в этом названии пишется с большой буквы (как первое слово официального названия).
Корректно: Замкадье (от МКАД).
См. здесь.
См. в Письмовнике.
Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.
