В литературном языке такого слова нет. Можно образовать окказиональное слово.
Кавычки не требуются.
Ваш вопрос не вполне понятен. Написанное Вами предложение построено верно.
Социально активный пишется раздельно (как сочетание наречия и прилагательного). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Слитное написание правильно (здесь нет факторов, влияющих на раздельное написание, ср.: местонахождение никому не известно).
Верно: угрём.
Корректно написание: хештег.
При воспроизведении исторических (дореволюционных) текстов рекомендуется написание Высочайший Двор. В остальных случаях двор пишется строчными буквами. С большой буквы пишется слово двор в названиях архитектурных памятников (Гостиный Двор, Апраксин Двор).
Если нет противопоставления или усиленного отрицания, верно: небиблиотечный (небиблиотечное образование).
Корректно: Мы скажем «нет» этой инициативе.
