Правильно: ар-деко (зафиксировано в «Русском орфографическом словаре» РАН). Об этом стиле см. подробно в «Википедии».
Корень: москв.
См. ответ на вопрос № 270974.
Словарная фиксация: Смерш. (В. В. Лаопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова Прописная или строчная? Орфографический словарь-справочник. М., 2011.)
Нужно склонять оба слова.
Написание зависит от того, как официально зарегистрировано название центра. В любом случае название следует писать в кавычках.
Корректно: школа города Шатуры.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Это слово не успело еще попасть в нормативные словари русского языка, поэтому «правильного» и «неправильного» написания нет. Можно выбрать наиболее распространенный вариант и его использовать.
Это название склоняется.
