Названия кафедр пишутся строчными. Правильно: профессор кафедры электроники.
Корректно: школа города Шатуры.
Корень: москв.
Топонимы с родовым словом остров обычно не склоняются: на острове Кипр.
Это слово не успело еще попасть в нормативные словари русского языка, поэтому «правильного» и «неправильного» написания нет. Можно выбрать наиболее распространенный вариант и его использовать.
Написание зависит от того, как официально зарегистрировано название центра. В любом случае название следует писать в кавычках.
Если вешалку придумала фирма, а не братья, то правильно: вешалку придумала фирма "Братья Тонет".
Правильно: ар-деко (зафиксировано в «Русском орфографическом словаре» РАН). Об этом стиле см. подробно в «Википедии».
Предпочтительно не склонять.
