В обоих случаях перед нами сложное предложение, союз и присоединяет отдельную грамматическую основу в нём, поэтому знак препинания перед союзом нужен. Этим знаком может быть либо запятая (по общему правилу), либо тире (как знак, выражающий значение результата, следствия).

В научных текстах встречается сочетание стойкость к окислению, поэтому корректным может быть следующий вариант: тест масла на стойкость к окислению. Вместе с тем рекомендуем уточнить терминологическое употребление, принятое в той сфере деятельности и знания, какую представляет Ваш текст.

Слово совершенно может как подчеркивать утверждение, так и усиливать отрицание. Поэтому возможны оба варианта, но смысл будет разный: янтарь ему совершенно неинтересен (подчеркивается утверждение) и янтарь ему совершенно не интересен (усиливается отрицание, возможно синонимичное сочетание вовсе не интересен).

Предложение неполное, оно может быть восстановлено приблизительно так: Из недавних [проектов могут быть названы] постановка «Аиды» Верди в Большом театре, «Милосердие Тита» Моцарта в Театре Покровского. На месте пропуска в неполном предложении ставится тире.

Фраза увеличить НА коэффициент х означает умножение. Это общепринятое математическое обозначение. Коэффициент — это множитель, поэтому его применение в контексте умножения является уместным. Источником может служить любой учебник по математике или алгебре, где объясняются математические операции и терминология.

В сочетании Совет ветеранов слово Совет может быть написано с прописной (большой) буквы, если это первое слово в составе официального названия организации: Совет ветеранов г. Москвы. Но в других контекстах правомерно написание строчными буквами: обратиться в совет ветеранов.

По общему правилу слово конечно отделяется запятой. Но к правилу есть примечание: при употреблении в ответной реплике, произносимой тоном уверенности, убежденности, слово конечно может не обособляться: «Ты уже знаешь наши новости?» – «Конечно знаю!» Окончательное решение принимает автор текста.

Слова по требованию не являются вводными и не требуют обособления.

Однако обстоятельства, выраженные существительными в формах косвенных падежей, для смыслового выделения или  попутного пояснения могут обособляться. Таким образом, в Вашем примере запятая может ставиться, но вовсе не обязательна.

В сложноподчиненном предложении Сторож проводил их туда, куда нужно запятая ставится. Однако без соотносительного слова туда в главной части придаточная часть может потерять самостоятельность и стать цельным по смыслу выражением: Сторож проводил их куда нужно (= в нужное место).

В данном случае возможны оба варианта написания, как слитное, так и раздельное. Дело в том, что наречие степени абсолютно может подчеркивать как отрицание (абсолютно не приложимо = никак не приложимо), так и утверждение (абсолютно неприложимо = в высшей степени неприложимо).