Написание корректно.
Возможны два первых варианта. Предлог про носит разговорный оттенок.
Употребление притяжательных местоимений мой, твой, наш, ваш вместо возможного по условиям контекста свой больше подчеркивает связь с соответствующим лицом: мне нравится моя работа. См. также ответ на вопрос № 276520.
Правильно: приглашает Вас на свой день рождения.
Вариант сделай покупку на день рождения имеет значение "в качестве подарка, в честь дня рождения". Так что, если имеется в виду, что покупку нужно сделать в течение дня рождения, а не в честь него, следует писать: в день рождения.
Предпочтительно: Не теряет своей популярности. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Да, название теплохода заключается в кавычки.
Кнопки и инструкции здесь: http://gramota.ru/slovari/forma/
