Запятая не ставится.
Следует писать слитно.
Правильно: на старт соревнования вышел 71 учащийся из 22 вузов.
Ваше написание корректно.
См. ответ на вопрос № 283580.
Запятая между главной частью и придаточной, присоединяемой простым союзом или союзным словом, не ставится, если перед подчинительным союзом или союзным словом стоит сочинительный союз и. Таким образом, указанная запятая не нужна.
Да, кавычки нужны: в «Лужниках». Так называемые условные названия объектов, например спортивных сооружений, стадионов («Лужники», «Локомотив»), нужно заключать в кавычки в текстах, где они упоминаются. Это, в частности, позволяет разграничивать условные названия (стадиона) и реальные названия (деревня Лужники).
Если имеется в виду несколько соревнований, то лучше: одержать победу в нескольких соревнованиях.