Дело во временной протяжённости даты 10 июня и в полном отсутствии ее у числа 10.  При наличии протяжённости и возникает необходимость уточнить, идет речь о начале дня 10 июня или о его конце, а в отсутствие уточнения возникает двоякое чтение.

В наиболее авторитетном, академическом издании собрания сочинений писателя находим раздельное написание: не подобающие ему речи (Горький М. Полное собрание сочинений. Художественные произведения. В 25 т. / АН СССР. Институт мировой литературы им. А. М. Горького. Т. 3. М.: Наука, 1969. С. 18).

Помыт – это краткое страдательное причастие прош. времени (ср. с полной формой помытый). Грамматическое значение ед. числа и муж. рода передается нулевым окончанием (ср.: она помыта, оно помыто, они помыты). Суффикс причастия – т, корень – мы, приставка – по (ср. с формами помыть, помылся, мыть, помывшийся).

Правильно раздельное написание: не чужды их творения и нам. Частица не со словом чуждый (в полной форме и кратких формах) пишется раздельно. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

Оба варианта разбора возможны. Первый основан на современных живых словообразовательных связях слов (прилагательное заповедный образовано от глагола заповедать). Такой вариант разбора представлен в «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова. Второй получается при более этимологичном подходе к морфемному анализу слова. Такой подход принят в орфографии.  

Если говорить об орфографически правильном написании, оно было бы таким: ГУ «ВШЭ», Государственный университет «Высшая школа экономики».

Знак дефиса (орфографический) в официальном полном наименовании, конечно же, следовало бы заменить на пунктуационный знак тире. Дефис в аббревиатуре обосновать можно: аббревиатура – это единое слово.

Сокращение г. в скобках опускается не всегда, а при определенных условиях. См. об этом в ответе на вопрос № 302646. Если в скобках есть слова, то сокращение или полное слово нужно оставлять, например: (написан в 1968 году), (26 апреля 2015 г.), (с 2005 г.).

В Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина есть параграф, посвященный косой черте. Однако в нем не учтено употребление косой черты между словом и словосочетанием или между словосочетаниями. Такие конструкции лучше воспринимаются, если косая черта отделяется от текста с обеих сторон пробелами.

Замечание о названиях -е и -о в «Письмовнике» касается названий городов, то есть случаев, когда отсутствует согласование по роду: в городе Видное. Поскольку в Вашем примере, как Вы верно заметили, согласование полное, то причин не склонять название нет: в селе Красносельском.