Правилен первый вариант.
Корректно: в одном центре из двадцати одного.
Запятые уместны: слова 21 сентября обособляются как пояснение.
Предложение составлено верно.
Правильно: В конкурсе приняла участие 21 команда.
Пожалуйста, адресуйте этот вопрос Минобрнауки: http://www.mon.gov.ru/
Здесь верно: госпитализированный.
Лучше использовать форму ед. числа.
Слово "секунда" употреблено правильно.
Составные числительные, заканчивающиеся на два, три, четыре, в именительном-винительном падеже не сочетаются с существительными, имеющими формы только множественного числа. Придется перестроить предложение, например, так: есть ворота в количестве 62 (шестидесяти двух) штук. Подробнее о проблеме сочетаемости можно прочитать в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (§ 166, п. 3).
