Правильно: давно не крашенный. Спасибо, внесем исправления в ответ № 201622.
Указанная запятая нужна: Некоторые, особенно восточноевропейские, страны давно бьют тревогу...
Запятая перед союзом не требуется.
Обратитесь на сайт.
В статье, на которую Вы ссылаетесь, этот факт объяснен: "В декабре 1906 года Распутин подает прошение на высочайшее имя об изменении своей фамилии на Распутин-Новых, ссылаясь на то, что многие его односельчане носят ту же фамилию, из-за чего могут быть недоразумения. Прошение было удовлетворено (Варламов А. Н. [tululu.org/read14005/ Григорий Распутин-Новый]. — М.: Молодая гвардия, 2007. — 851 с. — (ЖЗЛ). — ISBN 978-5-235-02956-9).
Наречие всё равно не является вводным сочетанием.
Если у них один и тот же домашний врач, следует использовать форму единственного числа. Если разные — множественного.
Предложение построено корректно. Задыхаясь – обособленное обстоятельство (деепричастие относится к глаголу, хотя и находится не рядом с ним), мокрая от пота – обособленное несогласованное определение, которое относится к имени собственному.
