Разумеется, вопросительную интонацию можно передать именно при помощи вопросительного знака: Мы в субботу едем на рыбалку. Давайте поедем вместе?

О таких случаях речь идет в справочниках, например в параграфе 97 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина: «Скобками выделяются вставные конструкции, в качестве которых используются знаки восклицательный или вопросительный, передающие отношение автора к высказанной мысли или ее оценку – удивление, недоумение, одобрение, сомнение, иронию и др.: За свою жизнь отец с ребятишками окольцевал более пятидесяти тысяч (!) разных птиц (газ.); Если приверженцы гомеопатии верят, что децилионная часть одной пылинки ревеня или белладонны может произвести переворот в теле человеческом, почему же не поверить, что одна кроха философии (?) может зародить идеи в голове (??!!)  (Белин.)».

Нет, не нужно. Если прямая речь следует после авторских слов, то вопросительный и восклицательный знаки, а также многоточие ставятся перед закрывающими кавычками, а точка — после них. Например: Наконец я ей сказал: «Хочешь, пойдём прогуляться на вал?» (Л.); Лёжа на тюке и плана, он дёргал руками и ногами и шептал:  «Мама! Мама!» (Ч.); Закричали:  «Двоих… Санитары… Гляди, гляди — ещё летит… Лезь под вагоны…» (А.Т.); Хозяйка очень часто обращалась к Чичикову со словами: «Вы очень мало взяли». (Г.).

Вопросительный знак ставится в конце всего предложения. Однако стоит обратить внимание на правила оформления перечней. 
 

Это разные случаи. В предложении В этот момент стоит показать ему рекламу суши-баров с текстом: "Устали от итальянской кухни? Попробуйте японскую!"  слоган оформлен как прямая речь, которая заканчивается восклицательным знаком. В таких случаях точка после кавычек не ставится. В предложении Она последовала его команде и остановилась, когда услышала его окрик "Стой!" слова "Стой!" оформлены как член предложения (несогласованное определение), поэтому точка в конце повествовательного предложения ставится. 

Ваши соображения справедливы.

Это предложение по цели высказывания не вопросительное, а побудительное: его грамматическую основу составляет глагольная форма повелительного наклонения подскажите. Соответственно, вопросительный знак в конце этого предложения не нужен.

В наших словарях есть ответ на Ваш вопрос, а с помощью новых возможностей поиска его легко найти (в поисковой строке вместо сомнительной буквы нужно поставить вопросительный знак). 

Да, именно так. Иных решений предложить невозможно.

В тексте вставной конструкции сохраняются необходимые для нее запятая, восклицательный и вопросительный знаки, многоточие, двоеточие, а точка переносится за закрывающую скобку: У противоположной стены располагался папин кульман (знаете, что такое кульман? Ушло слово в прошлое).