Орфографически верно: городская дума. Однако в официальных текстах нередко можно встретить такое написание: Московская городская Дума. Оно принято в официальных документах, хотя противоречит орфографическим нормам.
Правильно: гамаш.
Нет, кавычки не нужны.
Слово кег склоняется, форма кеги (мн. число, именительный падеж) правильная.
Словари фиксируют слово мойка как имеющее формы мн. числа во всех значениях. Однако Ваши сомнения обоснованны: употребление слова мойка в значении мытье во мн. числе уместно не во всех контекстах.
Нет, так сказать нельзя. Правильно: им двигало.
Слово родина пишется с большой буквы, если употребляется в особом высоком смысле.
Аббревиатура пишется слитно (при произнесении в соответствии с написанием): техвопрос. Графическое сокращение - раздельно, с точкой (при произнесении слова целиком): тех. вопрос.
Правильно: четырехъядерный.
