При «встрече» сочинительного союза и подчинительного (или союзного слова) запятая между ними ставится или не ставится в зависимости от некоторых условий. Основанием для непостановки запятой служит то обстоятельство, что вторую придаточную часть нельзя без ущерба для смысла изъять из текста или переставить в другое место — в конец сложноподчиненного предложения. Так, запятая, как правило, не ставится после противительного союза а, даже если дальше не следует вторая часть двойного союза то, поскольку ни изъятие, ни перестановка придаточной части невозможны без перестройки главной части: Печально поглядывал он по сторонам, и ему становилось невыносимо жаль и небо, и землю, и лес, а когда самая высокая нотка свирели пронеслась протяжно в воздухе и задрожала, как голос плачущего человека, ему стало чрезвычайно горько и обидно на непорядок, который заменился в природе (Ч.). О союзе но в этом правиле не упоминается, и, на наш взгляд, в предложениях с таким союзом изъятие или перестановка придаточной части вполне возможны, поэтому запятая должна быть поставлена: Он считает, что с бедным клерком можно не церемониться, но, что бы он ни думал, я не настолько уступчив, и его грубые вольности мне совсем не по душе (ср.: Он считает, что с бедным клерком можно не церемониться, но я не настолько уступчив, и его грубые вольности мне совсем не по душе, что бы он ни думал). В интересующем Вас предложении запятая нужна: Ее воодушевление по поводу этого проекта поддерживало нас с самого начала, и, поскольку она и Крис Б. являются близкими друзьями и коллегами на протяжении почти двух десятилетий, мы можем только представить, какую своевременную поддержку она оказывала Крис в критические моменты (ср.: Ее воодушевление по поводу этого проекта поддерживало нас с самого начала, и мы можем только представить, какую своевременную поддержку она оказывала Крис в критические моменты, поскольку она и Крис Б. являются близкими друзьями и коллегами на протяжении почти двух десятилетий). 

Оба варианта пунктуации корректны. В этом бессоюзном сложном предложении можно усмотреть противительные отношения, выражаемые с помощью тире, и отношения причины, выражаемые двоеточием. 

Да, здесь придаточное зависит от причастия, но совершенно ни к чему думать, что оно входит в состав причастного оборота, и лишать его собственной структуры. Внутри придаточного выделяем главный член посмотреть, дополнение что самого необычного и мистического (субстантивированные прилагательные здесь образуют с местоимением один член предложения).

Причастного оборота, формально говоря, здесь и нет, так как вместо зависимых слов у причастия имеется целое придаточное. Конечно, на самом деле это придаточное и распространяет причастие (то есть играет ту же роль, что и обычные зависимые слова), и можно подчеркнуть их вместе как одно распространенное определение, но это не отменяет выделения членов придаточного предложения.

Верно раздельное написание: ...подобная конференция будет не последней. В этом предложении выражается отрицание; едва ли можно представить себе непоследнюю конференцию как особый тип конференций и усмотреть здесь утверждение.

Верно с двоеточием: Суперсовет: будь осторожен. Двоеточие ставится в бессоюзном сложном предложении с пояснительными или изъяснительными отношениями между частями (в приведенном примере можно усмотреть те и другие отношения).

В этом бессоюзом сложном предложении можно усмотреть перечислительные отношения между частями, прочитать с соответствующей интонацией и поставить запятую, а можно счесть, что отношения сопоставительные (между частями возможен союз а), и поставить тире.

Здесь можно усмотреть отношения логического обоснования: автор считает, что «особое внимание ученых было уделено исследованию роли культуры в процессе обучения», потому что «данный аспект рассматривался с разных сторон (Иванов, Смирнов, Сидоров)».

Да, здесь вполне можно усмотреть отношения логического обоснования между частями бессоюзного сложного предложения. Канонический знак для их выражения — двоеточие: Это прощальная улыбка уходящего лета: скоро ночи станут синими, а потом, как и всюду, чёрными. 

Запятая не ставится.