Как правило, компетентность употребляется в единственном числе. А что имеется в виду под компетентностью в приведенном примере?
Верно без запятых.
Предпочтительно: лучшему дуэту пианиста и певца. Или (хуже) так: лучшему дуэту "пианист – певец".
Да, это сочетание пишется с прописной (большой) буквы.
Верно: анализ существующих российского и международного рынков.
Лучше второй вариант.
В значении 'вместе с кем-чем-л., объединяя действия с кем-л.' приведенные слова, как правило, синонимичны. Однако в других сочетаниях употребление ограниченно, например: находиться во взаимодействии.
Запятые факультативны.
Запятая поставлена верно.
Само по себе сочетание во имя чего-либо не требует постановки знаков препинания. Постановка запятых может быть обусловлена синтаксическим строем предложения.
